La hauteur d'un arbre vue de deux points

Mise en place. Notons $P$ le pied de l'arbre, $S$ son sommet et $h=PS$ sa hauteur. Notons $d=BP$ la distance de $B$ au pied. Les points $A$, $B$, $P$ sont alignés dans cet ordre, avec $AB=10$, donc $AP=d+10$.

Les triangles $SPB$ et $SPA$ sont rectangles en $P$.

Depuis $B$. L'angle en $B$ vaut $45°$, le côté opposé est $h$ et l'adjacent $d$ : $$\tan 45°=\frac{h}{d}\text{et}\tan 45°=1,\text{donc}h=d.$$

Depuis $A$. L'angle en $A$ vaut $30°$, le côté opposé est $h$ et l'adjacent $d+10$ : $$\tan 30°=\frac{h}{d+10},\text{avec}\tan 30°=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

L'équation. En remplaçant $h$ par $d$ : $$\frac{d}{d+10}=\frac{\sqrt{3}}{3}⟺3d=\sqrt{3}(d+10)⟺3d-\sqrt{3}d=10\sqrt{3}⟺d(3-\sqrt{3})=10\sqrt{3}.$$ Donc $$d=\frac{10\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}.$$ On rend le dénominateur entier en multipliant par $3+\sqrt{3}$ : $$d=\frac{10\sqrt{3}(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}=\frac{30\sqrt{3}+10\times 3}{9-3}=\frac{30\sqrt{3}+30}{6}=5\sqrt{3}+5.$$

Conclusion. Comme $h=d$, la hauteur exacte de l'arbre est $$h=5(1+\sqrt{3})\approx 13,66\text{ m}.$$

Contrôle. Alors $AP=h+10\approx 23,66$ m et $\frac{h}{AP}\approx \frac{13,66}{23,66}\approx 0,577$, qui est bien $\tan 30°=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,577$ ✔.