La maquette et le réservoir réel

Les notations. Notons $r$ et $h$ le rayon et la hauteur de la maquette. Le réservoir réel a pour rayon $20r$ et pour hauteur $20h$.

1. Le volume. Pour un cylindre, $V=\pi r^{2}h$. Le volume réel vaut donc $$V^{\prime }=\pi \times (20r{)}^2\times (20h)=\pi \times 400r^2\times 20h=8000\times \pi r^{2}h=20^3\times V.$$ Le facteur $20$ intervient trois fois — deux fois dans le carré du rayon, une fois dans la hauteur —, d'où $20^3=8000$.

Avec $V=0,5$ L : $$V^{\prime }=0,5\times 8000=4000\text{ L}.$$ Or $1000$ L $=1$ m${}^3$, donc $$V^{\prime }=4{\text{ m}}^3.$$

2. L'aire latérale. La surface latérale d'un cylindre est un rectangle de largeur $h$ et de longueur le périmètre du disque, soit $\mathcal{A}=2\pi rh$. L'aire réelle vaut donc $${\mathcal{A}}^{\prime }=2\pi \times (20r)\times (20h)=400\times 2\pi rh=20^2\times \mathcal{A}.$$ Le facteur $20$ n'intervient ici que deux fois, d'où $20^2=400$.

Avec $\mathcal{A}=300$ cm${}^2$ : $${\mathcal{A}}^{\prime }=300\times 400=120000{\text{ cm}}^2.$$ Or $1$ m${}^2=100\times 100=10000$ cm${}^2$, donc $${\mathcal{A}}^{\prime }=\frac{120000}{10000}=12{\text{ m}}^2.$$

Ce qu'il faut retenir. Quand toutes les longueurs sont multipliées par $k$, les aires le sont par $k^2$ et les volumes par $k^3$. C'est exactement la règle des conversions : chaque rang vaut $10$ pour les longueurs, $100$ pour les aires, $1000$ pour les volumes.