Une identité, puis une somme de sinus et cosinus

1. L'identité. On développe le carré comme $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ : $$(\cos \alpha +\sin \alpha {)}^2={\cos }^2\alpha +2\cos \alpha \sin \alpha +{\sin }^2\alpha .$$ Or la relation fondamentale donne ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$, d'où $$(\cos \alpha +\sin \alpha {)}^2=1+2\cos \alpha \sin \alpha .$$

2. La somme. En remplaçant $\cos \alpha \sin \alpha$ par $\frac{3}{8}$ : $$(\cos \alpha +\sin \alpha {)}^2=1+2\times \frac{3}{8}=1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}.$$ L'angle $\alpha$ est aigu, donc $\cos \alpha >0$ et $\sin \alpha >0$ : la somme $\cos \alpha +\sin \alpha$ est positive, et c'est donc la racine carrée positive : $$\cos \alpha +\sin \alpha =\sqrt{\frac{7}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}\approx 1,32.$$

La différence. Le même développement, avec $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$, donne $$(\cos \alpha -\sin \alpha {)}^2=1-2\cos \alpha \sin \alpha =1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4},$$ d'où $|\cos \alpha -\sin \alpha |=\frac{1}{2}$.

Contrôle. Si $\cos \alpha +\sin \alpha =\frac{\sqrt{7}}{2}$ et $\sin \alpha -\cos \alpha =\frac{1}{2}$, alors en additionnant $2\sin \alpha =\frac{\sqrt{7}+1}{2}$, soit $\sin \alpha =\frac{\sqrt{7}+1}{4}\approx 0,911$ et $\cos \alpha \approx 0,411$. On vérifie : $0,911^2+0,411^2\approx 0,830+0,169=1$ ✔ et $0,911\times 0,411\approx 0,375=\frac{3}{8}$ ✔.