D'une forme développée à un tableau de signes

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (seconde), chapitre 8 — Représentation algébrique et graphique des fonctions · Signe d'une fonction et tableaux de signes

Énoncé

Soit $f$ définie sur $R$ par $f (x) = - 2 x^{2} + 3 x + 5$ .

Vérifier que $f (x) = (5 - 2 x) (x + 1)$ .
Dresser le tableau de signes de $f$ sur $R$ .
En déduire l'ensemble des solutions de $f (x) \geq 0$ .

Corrigé

1. La vérification. On développe : $(5 - 2 x) (x + 1) = 5 x + 5 - 2 x^{2} - 2 x = - 2 x^{2} + 3 x + 5.$ C'est bien $f (x)$ , pour tout réel $x$ .

2. Le tableau. Chaque facteur est du premier degré.

$5 - 2 x = 0 ⟺ x = \frac{5}{2}$ ; le coefficient devant $x$ vaut $- 2 < 0$ , donc ce facteur est positif avant $\frac{5}{2}$ et négatif après.
$x + 1 = 0 ⟺ x = - 1$ ; le coefficient vaut $1 > 0$ , donc ce facteur est négatif avant $- 1$ et positif après.

On range les racines : $- 1 < \frac{5}{2}$ .

$x 5 - 2 x x + 1 f (x)] - \infty; - 1 [+ - -] - 1; \frac{5}{2} [+ + +] \frac{5}{2}; + \infty [- + -$

3. La conclusion. $f (x)$ est positif entre les deux racines, et nul en ces racines, qui sont donc incluses : $S = [- 1; \frac{5}{2}] .$

Contrôle. $f (0) = 5 > 0$ et $0 \in S$ ✔ ; $f (3) = - 18 + 9 + 5 = - 4 < 0$ et $3 \in / S$ ✔ ; $f (- 1) = - 2 - 3 + 5 = 0$ ✔.

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