Images et antécédents de la fonction carré translatée

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (seconde), chapitre 8 — Représentation algébrique et graphique des fonctions · Images, antécédents et ensemble de définition

Énoncé

Soit $g$ définie sur $R$ par $g (x) = x^{2} - 4$ . Calculer $g (- 3)$ , $g (0)$ et $g (2)$ , puis déterminer les antécédents de $0$ , puis ceux de $5$ .

Corrigé

Les images. $g (- 3) = (- 3)^{2} - 4 = 9 - 4 = 5.$ $g (0) = 0 - 4 = - 4.$ $g (2) = 4 - 4 = 0.$

Les antécédents de $0$ . On résout $g (x) = 0$ : $x^{2} - 4 = 0 ⟺ x^{2} = 4 ⟺ x = 2 ou x = - 2.$ Le nombre $0$ a donc deux antécédents : $- 2$ et $2$ .

Les antécédents de $5$ . $x^{2} - 4 = 5 ⟺ x^{2} = 9 ⟺ x = 3 ou x = - 3.$ Ce sont $- 3$ et $3$ , ce qui confirme le calcul $g (- 3) = 5$ .

Attention. L'équation $x^{2} = a$ a deux solutions si $a > 0$ , une seule ( $x = 0$ ) si $a = 0$ , et aucune si $a < 0$ . Ainsi $- 10$ n'a aucun antécédent par $g$ , car $x^{2} = - 6$ est impossible.

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