La courbe du cube et la droite d'équation y égale x

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 8 — Représentation algébrique et graphique des fonctions · Équations, inéquations et comparaison de deux fonctions

Énoncé

Soit $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x$ , définies sur $R$ .

Résoudre $f (x) = g (x)$ ; on pourra factoriser $x^{3} - x$ .
Déterminer, par un tableau de signes, les intervalles sur lesquels la courbe de $f$ est strictement au-dessus de celle de $g$ .

Corrigé

1. Les points communs. $x^{3} = x ⟺ x^{3} - x = 0.$ On factorise d'abord par $x$ , puis on reconnaît une différence de deux carrés : $x^{3} - x = x (x^{2} - 1) = x (x - 1) (x + 1) .$ Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est, donc $x = 0, x = 1, x = - 1.$ Les courbes se coupent en $(- 1; - 1)$ , $(0; 0)$ et $(1; 1)$ .

2. La position relative. Il s'agit du signe de $x (x - 1) (x + 1)$ . Les trois facteurs s'annulent en $0$ , $1$ et $- 1$ , que l'on range dans l'ordre croissant : $- 1 < 0 < 1$ .

$x x x - 1 x + 1 x^{3} - x] - \infty; - 1 [- - - -] - 1; 0 [- - + +] 0; 1 [+ - + -] 1; + \infty [+ + + +$

Conclusion. La courbe de $f$ est strictement au-dessus de celle de $g$ pour $x \in] - 1; 0 [\cup] 1; + \infty [.$

Contrôle. Pour $x = - 0, 5$ : $f (- 0, 5) = - 0, 125$ et $g (- 0, 5) = - 0, 5$ , et $- 0, 125 > - 0, 5$ ✔. Pour $x = 0, 5$ : $0, 125 < 0, 5$ ✔. Pour $x = 2$ : $8 > 2$ ✔.

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