mathématiques (seconde) · Chapitre 8 · Exercice d'entraînement

La courbe du cube et la droite d'équation y égale x

Représentation algébrique et graphique des fonctions · Équations, inéquations et comparaison de deux fonctions · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x$ , définies sur $R$ .

Résoudre $f (x) = g (x)$ ; on pourra factoriser $x^{3} - x$ .
Déterminer, par un tableau de signes, les intervalles sur lesquels la courbe de $f$ est strictement au-dessus de celle de $g$ .

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Résoudre $f (x) = g (x)$ ; on pourra factoriser $x^{3} - x$ .

Élève

Pour résoudre $f (x) = g (x)$ , je pensais écrire $x^{3} = x$ et diviser les deux côtés par $x$ . Mais j'ai un doute, parce qu'on ne connaît pas le signe de $x$ .

Ton doute est justifié : diviser par $x$ suppose $x \neq = 0$ , et tu perdrais alors une solution possible. L'énoncé te souffle une piste : que se passe-t-il si tu passes tout du même côté pour obtenir une équation égale à $0$ ?

Élève

Ça donnerait $x^{3} - x = 0$ . Ensuite je peux factoriser, mais je ne vois pas quoi mettre en facteur commun.

Regarde bien les deux termes de $x^{3} - x$ : n'y a-t-il pas une lettre $x$ dans chacun ? Une fois ce facteur sorti, tu obtiendras une expression dont tu sais peut-être factoriser la parenthèse. Que trouves-tu en mettant $x$ en facteur ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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