Le signe d'un produit de deux facteurs affines

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (seconde), chapitre 8 — Représentation algébrique et graphique des fonctions · Équations, inéquations et signe

Énoncé

Dresser le tableau de signes de $f (x) = (2 x - 1) (x + 5)$ sur $R$ , puis résoudre $f (x) < 0$ .

Corrigé

Les racines de chaque facteur. $2 x - 1 = 0 ⟺ x = \frac{1}{2}, x + 5 = 0 ⟺ x = - 5.$

Le signe de chaque facteur. Les deux facteurs ont un coefficient devant $x$ positif ( $2$ et $1$ ) : chacun est négatif avant sa racine et positif après.

On range les racines dans l'ordre croissant : $- 5 < \frac{1}{2}$ .

$x 2 x - 1 x + 5 f (x)] - \infty; - 5 [- - +] - 5; \frac{1}{2} [- + -] \frac{1}{2}; + \infty [+ + +$

Résolution de $f (x) < 0$ . L'expression est strictement négative entre les deux racines, qui sont exclues car $f$ y vaut $0$ : $S =] - 5; \frac{1}{2} [.$

Contrôle. $f (0) = (- 1) \times 5 = - 5 < 0$ ✔ ; $f (- 6) = (- 13) \times (- 1) = 13 > 0$ ✔ ; $f (1) = 1 \times 6 = 6 > 0$ ✔.

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