Trois points, et les points d'ordonnée un

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (seconde), chapitre 8 — Représentation algébrique et graphique des fonctions · Courbe, lectures graphiques et appartenance d'un point

Énoncé

Soit $f$ définie sur $R$ par $f (x) = - 2 x^{2} + 3 x + 1$ , et soit $C$ sa courbe représentative dans un repère.

Les points $A (0; 1)$ , $B (2; - 1)$ et $C (- 1; - 3)$ appartiennent-ils à $C$ ?
Déterminer les coordonnées de tous les points de $C$ d'ordonnée $1$ .

Corrigé

Le critère. Un point $M (a; b)$ appartient à $C$ si et seulement si $b = f (a)$ .

1. Les trois points. $f (0) = - 0 + 0 + 1 = 1.$ L'ordonnée de $A$ vaut $1$ : $A \in C$ . $f (2) = - 2 \times 4 + 3 \times 2 + 1 = - 8 + 6 + 1 = - 1.$ L'ordonnée de $B$ vaut $- 1$ : $B \in C$ . $f (- 1) = - 2 \times 1 + 3 \times (- 1) + 1 = - 2 - 3 + 1 = - 4.$ L'ordonnée de $C$ vaut $- 3$ , et non $- 4$ : $C \in / C$ .

2. Les points d'ordonnée $1$ . On résout $f (x) = 1$ : $- 2 x^{2} + 3 x + 1 = 1 ⟺ - 2 x^{2} + 3 x = 0 ⟺ x (- 2 x + 3) = 0.$ Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs l'est : $x = 0 ou - 2 x + 3 = 0 ⟺ x = \frac{3}{2} .$

Les points cherchés sont donc $(0; 1) et (\frac{3}{2}; 1) .$ Le premier n'est autre que le point $A$ .

Contrôle. $f (\frac{3}{2}) = - 2 \times \frac{9}{4} + \frac{9}{2} + 1 = - \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + 1 = 1$ ✔.

Attention au piège. Il ne faut surtout pas « simplifier par $x$ » dans l'équation $- 2 x^{2} + 3 x = 0$ : on perdrait la solution $x = 0$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.