Un quotient comparé à la valeur deux

1. L'équation. Sur $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, le dénominateur est non nul, on peut multiplier en croix : $$\frac{x+2}{x-1}=2⟺x+2=2(x-1)⟺x+2=2x-2⟺4=x.$$ La valeur $4$ appartient bien au domaine, donc $S=\{4\}$.

2. La différence. On met au même dénominateur : $$f(x)-2=\frac{x+2}{x-1}-\frac{2(x-1)}{x-1}=\frac{x+2-2x+2}{x-1}=\frac{-x+4}{x-1}.$$

Le tableau de signes. Le numérateur $-x+4$ s'annule en $4$ ; comme son coefficient devant $x$ vaut $-1<0$, il est positif avant $4$. Le dénominateur $x-1$ s'annule en $1$ et est positif après. La valeur $1$ est interdite : on la marque d'une double barre.

$$\begin{array}{cccc}x& \left]-\infty ;1\right[& \left]1;4\right[& \left]4;+\infty \right[\\ -x+4& +& +& -\\ x-1& -& +& +\\ f(x)-2& -& +& -\end{array}$$

Conclusion. L'inéquation $f(x)>2$ équivaut à $f(x)-2>0$, donc $$S=\left]1;4\right[.$$

Contrôle. Pour $x=2$ : $f(2)=\frac{4}{1}=4>2$ ✔. Pour $x=0$ : $f(0)=\frac{2}{-1}=-2<2$ ✔. Pour $x=5$ : $f(5)=\frac{7}{4}=1,75<2$ ✔.