Une différence ramenée à un quotient

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (seconde), chapitre 8 — Représentation algébrique et graphique des fonctions · Signe d'une fonction et tableaux de signes

Énoncé

Soit $f$ définie sur $R ∖ {0}$ par $f (x) = 3 - \frac{6}{x}$ .

Montrer que $f (x) = \frac{3 x - 6}{x}$ .
Dresser le tableau de signes de $f$ , puis résoudre $f (x) \leq 0$ .

Corrigé

1. La mise au même dénominateur. Pour $x \neq = 0$ : $f (x) = \frac{3 x}{x} - \frac{6}{x} = \frac{3 x - 6}{x} .$

2. Le tableau de signes. Le numérateur $3 x - 6$ s'annule en $x = 2$ et, son coefficient valant $3 > 0$ , il est négatif avant $2$ et positif après. Le dénominateur $x$ s'annule en $0$ : c'est la valeur interdite, marquée d'une double barre.

On range les valeurs : $0 < 2$ .

$x 3 x - 6 x f (x)] - \infty; 0 [- - +] 0; 2 [- + -] 2; + \infty [+ + +$

Résolution de $f (x) \leq 0$ . L'expression est négative sur $] 0; 2 [$ , et elle s'annule en $x = 2$ , qui est donc inclus. En revanche $0$ est exclu : $f$ n'y est pas définie. $S =] 0; 2] .$

Contrôle. $f (1) = 3 - 6 = - 3 \leq 0$ ✔ ; $f (2) = 3 - 3 = 0$ ✔ ; $f (- 1) = 3 + 6 = 9 > 0$ ✔ ; $f (3) = 3 - 2 = 1 > 0$ ✔.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.