Une équation et une inéquation du même produit

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (seconde), chapitre 8 — Représentation algébrique et graphique des fonctions · Équations, inéquations et comparaison de deux fonctions

Énoncé

Résoudre dans $R$ l'équation $x^{2} = 5 x$ , puis l'inéquation $x^{2} > 5 x$ .

Corrigé

L'équation. On ramène tout dans le même membre pour factoriser : $x^{2} = 5 x ⟺ x^{2} - 5 x = 0 ⟺ x (x - 5) = 0.$ Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est : $x = 0 ou x = 5.$ L'ensemble des solutions est $S = {0; 5}$ .

⚠️ Le piège. On aurait pu être tenté de « diviser par $x$ » pour obtenir $x = 5$ . C'est interdit : $x$ peut valoir $0$ , et l'on perdrait ainsi la solution $x = 0$ .

L'inéquation. De la même façon, $x^{2} > 5 x ⟺ x^{2} - 5 x > 0 ⟺ x (x - 5) > 0.$ On dresse le tableau de signes du produit, dont les facteurs s'annulent en $0$ et en $5$ :

$x x x - 5 x (x - 5)] - \infty; 0 [- - +] 0; 5 [+ - -] 5; + \infty [+ + +$

Conclusion. $S =] - \infty; 0 [\cup] 5; + \infty [.$

Contrôle. Pour $x = - 1$ : $1 > - 5$ ✔. Pour $x = 2$ : $4 > 10$ est faux ✔. Pour $x = 6$ : $36 > 30$ ✔.

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