Ce qu'un balayage voit, et ce qu'il manque

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 9 — Variations et extremums · Fonctions affines et problèmes d'optimisation

Énoncé

Soit $f$ définie sur $[0; 5]$ par $f (x) = x^{2} - 5 x + 7$ .

Calculer $f (2)$ , $f (2, 5)$ et $f (3)$ .
On balaie $[0; 5]$ avec un pas de $1$ ( $x = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ ) : quelle plus petite valeur ce balayage relève-t-il ?
Vérifier que $f (x) = (x - 2, 5)^{2} + 0, 75$ et en déduire le minimum exact de $f$ .

Corrigé

1. Les trois images. $f (2) = 4 - 10 + 7 = 1, f (2, 5) = 6, 25 - 12, 5 + 7 = 0, 75, f (3) = 9 - 15 + 7 = 1.$

2. Le balayage de pas $1$ . On calcule toutes les images aux points visités : $f (0) = 7, f (1) = 1 - 5 + 7 = 3, f (2) = 1, f (3) = 1, f (4) = 16 - 20 + 7 = 3, f (5) = 25 - 25 + 7 = 7.$ La plus petite valeur relevée est $1$ , obtenue en $x = 2$ et en $x = 3$ . Le balayage conclurait donc « minimum $\approx 1$ ».

3. Le minimum exact. Vérifions la forme proposée : $(x - 2, 5)^{2} + 0, 75 = x^{2} - 5 x + 6, 25 + 0, 75 = x^{2} - 5 x + 7 = f (x) .$ Comme $(x - 2, 5)^{2} \geq 0$ pour tout réel $x$ , on a $f (x) \geq 0, 75,$ et cette valeur est atteinte pour $x = 2, 5$ , qui appartient à $[0; 5]$ . Le minimum exact de $f$ est donc $0, 75, atteint en x = 2, 5.$

La leçon. Le balayage de pas $1$ a donné $1$ au lieu de $0, 75$ : il ne visite pas $2, 5$ , et manque donc le minimum. Un balayage ne fournit qu'une valeur approchée, d'autant meilleure que le pas est petit. Ici, avec un pas de $0, 5$ , le point $2, 5$ est visité et le balayage tomberait par chance sur la valeur exacte $0, 75$ — mais rien ne le garantissait.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.