Deux carrés dont la somme des aires est minimale

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 9 — Variations et extremums · Optimisation, par balayage et par le calcul

Énoncé

Une ficelle de $40$ cm est coupée en deux morceaux, dont on forme deux carrés. Le premier morceau mesure $4 x$ cm, si bien que le premier carré a pour côté $x$ cm, avec $0 \leq x \leq 10$ .

Exprimer, en fonction de $x$ , la longueur du second morceau puis le côté du second carré.
Exprimer la somme $S (x)$ des aires des deux carrés, en cm $^{2}$ .
Vérifier que $S (x) = 2 (x - 5)^{2} + 50$ .
En déduire la valeur minimale de $S$ sur $[0; 10]$ , et la longueur de chaque morceau dans ce cas.
Déterminer la valeur maximale de $S$ sur $[0; 10]$ .

Corrigé

1. La ficelle entière mesure $40$ cm et le premier morceau $4 x$ cm : le second mesure $40 - 4 x$ cm. Comme il forme un carré, son côté vaut $\frac{40 - 4 x}{4} = 10 - x cm .$ La contrainte $0 \leq x \leq 10$ garantit que les deux longueurs $4 x$ et $40 - 4 x$ sont positives.

2. L'aire d'un carré est le carré de son côté : $S (x) = x^{2} + (10 - x)^{2} .$

3. Développons chaque membre. D'une part $S (x) = x^{2} + (10 - x)^{2} = x^{2} + 100 - 20 x + x^{2} = 2 x^{2} - 20 x + 100.$ D'autre part $2 (x - 5)^{2} + 50 = 2 (x^{2} - 10 x + 25) + 50 = 2 x^{2} - 20 x + 50 + 50 = 2 x^{2} - 20 x + 100.$ Les deux expressions sont identiques : l'égalité est vérifiée pour tout réel $x$ .

4. Pour tout $x$ , $(x - 5)^{2} \geq 0$ , donc $2 (x - 5)^{2} \geq 0$ et $S (x) = 2 (x - 5)^{2} + 50 \geq 50,$ avec égalité si et seulement si $x = 5$ — valeur bien située dans $[0; 10]$ .

Le minimum de $S$ est donc $50$ cm $^{2}$ , atteint pour $x = 5$ . Les deux morceaux mesurent alors $4 \times 5 = 20$ cm et $40 - 20 = 20$ cm : on coupe la ficelle en son milieu, et l'on obtient deux carrés identiques de côté $5$ cm, d'aires $25 + 25 = 50$ cm $^{2}$ .

5. Sur $[0; 10]$ , l'écart $x - 5$ varie entre $- 5$ et $5$ , donc $(x - 5)^{2}$ est au plus égal à $25$ , valeur atteinte aux deux bornes $x = 0$ et $x = 10$ . Ainsi $S (x) \leq 2 \times 25 + 50 = 100.$ Le maximum vaut $100$ cm $^{2}$ , atteint pour $x = 0$ et pour $x = 10$ : on ne coupe alors pas la ficelle, et l'unique carré de côté $10$ cm a pour aire $100$ cm $^{2}$ .

Contrôle : $S (0) = 0 + 1 0^{2} = 100$ et $S (10) = 1 0^{2} + 0 = 100$ ; $S (5) = 25 + 25 = 50$ ; $S (2) = 4 + 64 = 68$ , valeur bien comprise entre $50$ et $100$ .

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