mathématiques (seconde) · Chapitre 9 · Exercice de TD

Deux carrés dont la somme des aires est minimale

Variations et extremums · Optimisation, par balayage et par le calcul · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Une ficelle de $40$ cm est coupée en deux morceaux, dont on forme deux carrés. Le premier morceau mesure $4 x$ cm, si bien que le premier carré a pour côté $x$ cm, avec $0 \leq x \leq 10$ .

Exprimer, en fonction de $x$ , la longueur du second morceau puis le côté du second carré.
Exprimer la somme $S (x)$ des aires des deux carrés, en cm $^{2}$ .
Vérifier que $S (x) = 2 (x - 5)^{2} + 50$ .
En déduire la valeur minimale de $S$ sur $[0; 10]$ , et la longueur de chaque morceau dans ce cas.
Déterminer la valeur maximale de $S$ sur $[0; 10]$ .

Corrigé de la question 1

1. La ficelle entière mesure $40$ cm et le premier morceau $4 x$ cm : le second mesure $40 - 4 x$ cm. Comme il forme un carré, son côté vaut $\frac{40 - 4 x}{4} = 10 - x cm .$ La contrainte $0 \leq x \leq 10$ garantit que les deux longueurs $4 x$ et $40 - 4 x$ sont positives.

Question 2 : comment l'IA t'aide

2. Exprimer la somme $S (x)$ des aires des deux carrés, en cm $^{2}$ .

Élève

Pour la question 2, je dois additionner les deux aires, c'est ça ?

Oui. Et comment calcule-t-on l'aire d'un carré quand on connaît son côté ?

Élève

Côté fois côté, donc côté au carré. Le premier carré a pour côté $x$ , donc son aire vaut $x^{2}$ .

Très bien. Et pour le second carré, quel est son côté d'après la question 1 ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

Continue cet exercice avec l'IA

Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

Continuer avec l'IA — gratuit, sans inscription

Gratuit, sans inscription. L'IA te guide pas à pas, sans te donner la réponse.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Continuer avec l'IA, gratuit →