Deux fonctions affines comparées

1. Le taux d'accroissement de $f$ vaut $3>0$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Celui de $g$ vaut $-2<0$ : $g$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$. (Pour une fonction affine $mx+p$, le signe de $m$ commande le sens de variation, puisque $f(v)-f(u)=m(v-u)$ avec $v-u>0$ lorsque $u<v$.)

2. On résout : $$3x-4=-2x+11⟺3x+2x=11+4⟺5x=15⟺x=3.$$ La valeur commune est $f(3)=3\times 3-4=5$, et l'on vérifie $g(3)=-2\times 3+11=-6+11=5$. Les deux droites représentatives se coupent au point de coordonnées $(3;5)$.

3. On calcule la différence : $$f(x)-g(x)=(3x-4)-(-2x+11)=3x-4+2x-11=5x-15=5(x-3).$$ C'est une expression affine de coefficient directeur $5>0$ : elle est négative pour $x<3$, nulle en $x=3$, positive pour $x>3$.

Or $f(x)<g(x)$ équivaut à $f(x)-g(x)<0$. L'ensemble cherché est donc $$S=\left]-\infty ;3\right[.$$ Autrement dit, la courbe de $f$ est au-dessous de celle de $g$ avant leur point d'intersection, et au-dessus après.

Contrôle : pour $x=0$, $f(0)=-4$ et $g(0)=11$, donc $f(0)<g(0)$ ; pour $x=5$, $f(5)=11$ et $g(5)=1$, donc $f(5)>g(5)$.

4. On résout : $$3x-4\ge 0⟺3x\ge 4⟺x\ge \frac{4}{3}.$$ L'ensemble des solutions est $\left[\frac{4}{3};+\infty \right[$. C'est cohérent avec la croissance de $f$ : la fonction est négative avant sa racine $\frac{4}{3}$ et positive après.