Encadrer deux expressions composées

Étape commune : encadrer $x^2$. Les bornes $-1$ et $2$ sont de signes contraires. Un carré est positif ou nul, et $0$ est atteint car $0\in [-1;2]$ : la borne inférieure est $0$. Aux extrémités, $(-1{)}^2=1$ et $2^2=4$ : la plus grande est $4$. Donc $$0\le x^2\le 4.$$

L'expression $A$. On multiplie par $3$, qui est positif (l'ordre est conservé), puis on ajoute $1$ : $$0\le 3x^2\le 12⟹1\le 3x^2+1\le 13,$$ soit $$1\le A\le 13.$$

L'expression $B$. On part du même encadrement et l'on ajoute $1$ : $$1\le x^2+1\le 5.$$ Toutes ces valeurs sont strictement positives, donc on peut prendre les inverses ; la fonction inverse étant décroissante sur $\left]0;+\infty \right[$, le sens des inégalités change : $$\frac{1}{5}\le \frac{1}{x^2+1}\le \frac{1}{1}=1,$$ soit $$\frac{1}{5}\le B\le 1.$$

Les bornes sont-elles atteintes ? Oui. Pour $x=0$ : $A=1$ et $B=1$. Pour $x=2$ : $A=3\times 4+1=13$ et $B=\frac{1}{5}$. Les quatre bornes sont donc les meilleures possibles.

Contrôle intermédiaire. Pour $x=-1$ : $A=4\in [1;13]$ ✔ et $B=\frac{1}{2}\in \left[\frac{1}{5};1\right]$ ✔.