Encadrer une somme, une différence, un quotient

1. On additionne membre à membre les deux encadrements (l'addition d'inégalités de même sens est licite) : $$1+2\le x+y\le 4+3,\text{soit}3\le x+y\le 7.$$

2. On ne soustrait pas deux inégalités membre à membre. On multiplie d'abord $2\le y\le 3$ par $-1$, ce qui inverse le sens : $$-3\le -y\le -2.$$ On additionne alors avec $1\le x\le 4$ : $$1-3\le x-y\le 4-2,\text{soit}-2\le x-y\le 2.$$ Contrôle : $x=1$ et $y=3$ donnent $x-y=-2$ ; $x=4$ et $y=2$ donnent $x-y=2$. Les deux bornes sont atteintes.

3. La fonction inverse étant décroissante sur $\left]0;+\infty \right[$ et $2\le y\le 3$ avec $y>0$ : $$\frac{1}{3}\le \frac{1}{y}\le \frac{1}{2}.$$ Comme $\frac{1}{y}$ est un nombre strictement positif, on peut multiplier l'encadrement $1\le x\le 4$ par ce nombre sans en changer le sens : $$\frac{1}{y}\le \frac{x}{y}\le \frac{4}{y}.$$ Il reste à encadrer les deux extrémités à l'aide de $\frac{1}{3}\le \frac{1}{y}\le \frac{1}{2}$ : le membre de gauche vérifie $\frac{1}{y}\ge \frac{1}{3}$, et le membre de droite $\frac{4}{y}=4\times \frac{1}{y}\le 4\times \frac{1}{2}=2$. Finalement $$\frac{1}{3}\le \frac{x}{y}\le 2.$$ Contrôle : $x=1$ et $y=3$ donnent $\frac{x}{y}=\frac{1}{3}$ ; $x=4$ et $y=2$ donnent $\frac{x}{y}=2$. Les deux bornes sont atteintes.

4. D'après la première question, $3\le x+y\le 7$, et ces bornes sont strictement positives. La fonction inverse est décroissante sur $\left]0;+\infty \right[$, donc elle inverse l'ordre : $$\frac{1}{7}\le \frac{1}{x+y}\le \frac{1}{3}.$$