La hauteur maximale d'un ballon lancé

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 9 — Variations et extremums · Fonctions affines et problèmes d'optimisation

Énoncé

Un ballon est lancé verticalement. Sa hauteur, en mètres, $t$ secondes après le lancer, est donnée par $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t + 1$ pour $t \in [0; 4]$ .

Vérifier que $h (t) = - 5 (t - 2)^{2} + 21$ .
En déduire la hauteur maximale atteinte et l'instant où elle l'est.
Déterminer les instants où le ballon se trouve à $16$ m de hauteur.

Corrigé

1. La vérification. On développe : $- 5 (t - 2)^{2} + 21 = - 5 (t^{2} - 4 t + 4) + 21 = - 5 t^{2} + 20 t - 20 + 21 = - 5 t^{2} + 20 t + 1.$ C'est bien $h (t)$ , pour tout $t$ .

2. La hauteur maximale. Pour tout réel $t$ , on a $(t - 2)^{2} \geq 0$ , donc $- 5 (t - 2)^{2} \leq 0$ (on a multiplié par $- 5$ , qui est négatif : l'inégalité change de sens). Par conséquent $h (t) = - 5 (t - 2)^{2} + 21 \leq 21.$ La valeur $21$ majore donc toutes les hauteurs. Elle est atteinte, et seulement pour $(t - 2)^{2} = 0$ , c'est-à-dire $t = 2$ — instant qui appartient bien à $[0; 4]$ .

Conclusion. Le ballon culmine à $21$ m, $2$ secondes après le lancer.

3. Les instants à $16$ m. $h (t) = 16 ⟺ - 5 (t - 2)^{2} + 21 = 16 ⟺ - 5 (t - 2)^{2} = - 5 ⟺ (t - 2)^{2} = 1.$ Donc $t - 2 = 1$ ou $t - 2 = - 1$ : $t = 3 ou t = 1.$ Les deux instants appartiennent à $[0; 4]$ : le ballon passe à $16$ m une première fois en montant ( $t = 1$ s), puis une seconde fois en descendant ( $t = 3$ s).

Contrôles. $h (1) = - 5 + 20 + 1 = 16$ ✔ ; $h (3) = - 45 + 60 + 1 = 16$ ✔ ; $h (0) = 1$ m, la hauteur de la main au moment du lancer ✔.

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