La recette maximale d'une salle de concert

Variations et extremums · Optimisation, par balayage et par le calcul · niveau 2

Énoncé

Une salle de concert vend ses places $20$ € et remplit $300$ sièges. Une étude de marché indique que chaque baisse de $1$ € du prix attire $30$ spectateurs supplémentaires. On note $x$ la baisse consentie, en euros, avec $0 \leq x \leq 20$ .

Exprimer, en fonction de $x$ , le prix d'une place puis le nombre de spectateurs, et montrer que la recette est $R (x) = (20 - x) (300 + 30 x)$ .
Calculer $R (0)$ , $R (5)$ et $R (10)$ .
Vérifier que, pour tout $x$ , $R (x) = 6750 - 30 (x - 5)^{2}$ .
En déduire la recette maximale, ainsi que le prix de la place et le nombre de spectateurs correspondants.

Corrigé

1. Si la baisse est de $x$ euros, le prix d'une place devient $20 - x$ euros. Chaque euro de baisse amenant $30$ spectateurs de plus, le nombre de spectateurs devient $300 + 30 x$ . La recette est le produit du prix par le nombre de places vendues : $R (x) = (20 - x) (300 + 30 x) .$

2. On calcule : $R (0) = 20 \times 300 = 6000,$ $R (5) = (20 - 5) (300 + 150) = 15 \times 450 = 6750,$ $R (10) = (20 - 10) (300 + 300) = 10 \times 600 = 6 000.$ La recette vaut $6000$ €, $6750$ € puis de nouveau $6000$ € : elle monte puis redescend.

3. Développons d'abord $R (x)$ : $R (x) = (20 - x) (300 + 30 x) = 6000 + 600 x - 300 x - 30 x^{2} = - 30 x^{2} + 300 x + 6 000.$ Développons ensuite l'expression proposée : $6750 - 30 (x - 5)^{2} = 6750 - 30 (x^{2} - 10 x + 25) = 6750 - 30 x^{2} + 300 x - 750 = - 30 x^{2} + 300 x + 6 000.$ Les deux développements coïncident : l'égalité est établie pour tout réel $x$ .

4. Pour tout $x$ , $(x - 5)^{2} \geq 0$ , donc $30 (x - 5)^{2} \geq 0$ , et en retranchant : $R (x) = 6750 - 30 (x - 5)^{2} \leq 6 750.$ L'égalité a lieu lorsque $(x - 5)^{2} = 0$ , c'est-à-dire pour $x = 5$ , valeur qui appartient bien à $[0; 20]$ .

La recette maximale vaut donc $6750$ €, atteinte pour une baisse de $5$ € : le prix de la place est alors $20 - 5 = 15$ € et la salle accueille $300 + 30 \times 5 = 450$ spectateurs.

Contrôle : $15 \times 450 = 6750$ €, soit $750$ € de plus que la recette initiale de $6000$ €.