Quand les bornes n'ont pas le même signe

1. Le carré. Ici les deux bornes sont de signes contraires, il faut donc être prudent : on ne peut pas simplement élever les bornes au carré (cela donnerait le faux encadrement $9\le x^2\le 1$).

Un carré est toujours positif ou nul, et la valeur $0$ est atteinte puisque $0\in [-3;1]$ : la borne inférieure est donc $0$.

Pour la borne supérieure, on regarde les deux extrémités : $(-3{)}^2=9$ et $1^2=1$, et la plus grande est $9$. Sur $[-3;0]$ le carré décroît de $9$ à $0$, sur $[0;1]$ il croît de $0$ à $1$ : il ne dépasse donc jamais $9$. $$0\le x^2\le 9.$$

2. L'expression affine. On multiplie par $-2$, qui est négatif : le sens des inégalités change. $$-3\le x\le 1⟹6\ge -2x\ge -2,\text{soit}-2\le -2x\le 6.$$ On ajoute ensuite $5$ à chaque membre, ce qui conserve l'ordre : $$3\le -2x+5\le 11.$$

3. L'inverse. C'est impossible. En effet $0$ appartient à $[-3;1]$, et $\frac{1}{x}$ n'est même pas défini en $0$. Pire : pour $x$ positif très proche de $0$, $\frac{1}{x}$ devient aussi grand que l'on veut (par exemple $x=0,001$ donne $\frac{1}{x}=1000$), et pour $x$ négatif proche de $0$, aussi petit que l'on veut ($x=-0,001$ donne $-1000$).

Aucun encadrement n'est donc possible. Pour encadrer un inverse, il faut que l'intervalle de départ ne contienne pas $0$.