mathématiques (seconde) · Chapitre 9 · Exercice de TD

Quand les bornes ne sont plus positives

Variations et extremums · Encadrer grâce aux variations · niveau 2

Énoncé

On sait que $- 4 \leq x \leq - 1$ . Encadrer $x^{2}$ , puis $\frac{1}{x}$ .
On sait que $- 3 \leq x \leq 2$ . Encadrer $x^{2}$ . Peut-on de la même façon encadrer $\frac{1}{x}$ ?

Corrigé de la question 1

1. Les deux bornes $- 4$ et $- 1$ sont négatives, donc tout l'intervalle est contenu dans $] - \infty; 0]$ .

Le carré. Sur $] - \infty; 0]$ , la fonction carré est décroissante : elle inverse l'ordre. De $- 4 \leq x \leq - 1$ on tire donc $(- 1)^{2} \leq x^{2} \leq (- 4)^{2}, c’est- a ˋ -dire 1 \leq x^{2} \leq 16.$ Attention à l'échange des bornes : c'est la borne $- 1$ , la plus grande, qui fournit la plus petite valeur du carré.

L'inverse. Sur $] - \infty; 0 [$ , la fonction inverse est décroissante : elle inverse elle aussi l'ordre. $\frac{1}{- 1} \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{- 4}, c’est- a ˋ -dire - 1 \leq \frac{1}{x} \leq - 0, 25.$ Contrôle : pour $x = - 2$ , $x^{2} = 4$ (bien compris entre $1$ et $16$ ) et $\frac{1}{x} = - 0, 5$ (bien compris entre $- 1$ et $- 0, 25$ ).

Question 2 : comment l'IA t'aide

2. On sait que $- 3 \leq x \leq 2$ . Encadrer $x^{2}$ . Peut-on de la même façon encadrer $\frac{1}{x}$ ?

Élève

Pour le carré, je voulais appliquer la même méthode que dans le corrigé du 1 : élever les bornes au carré. Mais en le faisant, j'obtiens un encadrement qui me paraît bizarre.

Tu as raison d'avoir un doute : la méthode du 1 reposait sur une propriété précise de la fonction carré. Quelle était cette propriété, et sur quel intervalle était-elle vraie ?

Élève

Elle était décroissante sur $] - \infty; 0]$ , donc elle inversait l'ordre. Mais ici, l'intervalle $[- 3; 2]$ n'est pas entièrement dans $] - \infty; 0]$ ...

Exact. Alors que fais la fonction carré sur $[- 3; 2]$ : reste-t-elle monotone sur tout l'intervalle ? Et quel point particulier de cet intervalle faut-il regarder pour comprendre son comportement ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

Continue cet exercice avec l'IA

Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

Continuer avec l'IA — gratuit, sans inscription

Gratuit, sans inscription. L'IA te guide pas à pas, sans te donner la réponse.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Continuer avec l'IA, gratuit →