Quand les bornes ne sont plus positives

1. Les deux bornes $-4$ et $-1$ sont négatives, donc tout l'intervalle est contenu dans $\left]-\infty ;0\right]$.

Le carré. Sur $\left]-\infty ;0\right]$, la fonction carré est décroissante : elle inverse l'ordre. De $-4\le x\le -1$ on tire donc $$(-1{)}^2\le x^2\le (-4{)}^2,\text{c’est-aˋ-dire}1\le x^2\le 16.$$ Attention à l'échange des bornes : c'est la borne $-1$, la plus grande, qui fournit la plus petite valeur du carré.

L'inverse. Sur $\left]-\infty ;0\right[$, la fonction inverse est décroissante : elle inverse elle aussi l'ordre. $$\frac{1}{-1}\le \frac{1}{x}\le \frac{1}{-4},\text{c’est-aˋ-dire}-1\le \frac{1}{x}\le -0,25.$$ Contrôle : pour $x=-2$, $x^2=4$ (bien compris entre $1$ et $16$) et $\frac{1}{x}=-0,5$ (bien compris entre $-1$ et $-0,25$).

2. Le carré. Cette fois les bornes sont de signes contraires : l'intervalle $\left[-3;2\right]$ contient $0$, et la fonction carré y décroît puis croît. On ne peut donc plus transporter l'encadrement directement.

On raisonne alors ainsi : d'une part $x^2\ge 0$ pour tout réel, et cette valeur $0$ est atteinte en $x=0$, qui appartient à l'intervalle ; d'autre part, $x^2$ est d'autant plus grand que $x$ est loin de $0$, et la borne la plus éloignée de $0$ est $-3$, dont le carré vaut $9$. D'où $$0\le x^2\le 9.$$ Contrôle : $(-3{)}^2=9$, $2^2=4$, $0^2=0$ : les valeurs $0$ et $9$ sont bien atteintes, et $4$ est entre les deux.

L'inverse. Non. Le nombre $0$ appartient à $\left[-3;2\right]$, or $\frac{1}{x}$ n'est pas définie en $0$. De plus, pour $x$ positif de plus en plus proche de $0$, $\frac{1}{x}$ devient aussi grand que l'on veut (par exemple $\frac{1}{0,001}=1000$) : aucun encadrement n'est possible sur cet intervalle.