Quarante mètres de grillage, aire maximale

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (seconde), chapitre 9 — Variations et extremums · Optimisation, par balayage et par le calcul

Énoncé

On dispose de $40$ m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire. En notant $x$ la largeur (en m), exprimer l'aire $A (x)$ , préciser l'intervalle d'étude, et déterminer les dimensions qui rendent l'aire maximale.

Corrigé

La demi-somme des côtés vaut $20$ , donc la longueur est $20 - x$ et $A (x) = x (20 - x)$ pour $x \in] 0; 20 [$ (bornes exclues : $x = 0$ et $x = 20$ ne définissent aucun rectangle). La parabole $A$ (tournée vers le bas) a son sommet en $x = 10$ : l'aire est maximale pour $x = 10$ m (un carré de côté $10$ ), et vaut $A (10) = 100$ m $^{2}$ .

<br> Parmi tous les rectangles de périmètre $40$ m, c'est le carré de côté $10$ m qui a la plus grande aire.

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