Un forfait de téléphone lu comme une fonction affine

Exercice de TD · niveau 1 (application) · mathématiques (seconde), chapitre 9 — Variations et extremums · Fonctions affines : taux d'accroissement et signe

Énoncé

Un forfait de téléphone coûte $12$ € par mois, auxquels s'ajoutent $0, 50$ € par SMS envoyé hors forfait. En notant $x$ le nombre de SMS hors forfait envoyés dans le mois, le montant de la facture, en euros, est $f (x) = 0, 5 x + 12$ .

Que représentent, pour la fonction affine $f$ , les nombres $0, 5$ et $12$ ? Que signifient-ils dans la situation décrite ?
Calculer $f (0)$ , $f (20)$ et $f (60)$ .
Donner le sens de variation de $f$ sur $[0; + \infty [$ et le justifier.
À partir de combien de SMS hors forfait la facture dépasse-t-elle $30$ € ?

Corrigé

1. Une fonction affine s'écrit $f (x) = m x + p$ . Ici $m = 0, 5$ est le taux d'accroissement (ou coefficient directeur) et $p = 12$ l'ordonnée à l'origine.

Concrètement : $12$ € est le montant payé lorsque aucun SMS hors forfait n'est envoyé, c'est-à-dire l'abonnement de base ; $0, 5$ € est le supplément payé pour chaque SMS hors forfait, c'est-à-dire l'augmentation de la facture quand $x$ augmente de $1$ .

2. On applique la formule : $f (0) = 0, 5 \times 0 + 12 = 12, f (20) = 0, 5 \times 20 + 12 = 10 + 12 = 22,$ $f (60) = 0, 5 \times 60 + 12 = 30 + 12 = 42.$ La facture vaut donc $12$ €, $22$ € et $42$ €.

3. Le taux d'accroissement $m = 0, 5$ est strictement positif, donc $f$ est strictement croissante.

Justification par le calcul : pour deux nombres $u < v$ , $f (v) - f (u) = (0, 5 v + 12) - (0, 5 u + 12) = 0, 5 (v - u) .$ Comme $u < v$ , on a $v - u > 0$ , donc $f (v) - f (u) > 0$ , c'est-à-dire $f (u) < f (v)$ : l'ordre est conservé. C'est bien cohérent avec la situation — envoyer plus de SMS ne peut pas faire baisser la facture.

4. On résout l'inéquation $0, 5 x + 12 > 30 ⟺ 0, 5 x > 18 ⟺ x > \frac{18}{0 , 5} = 36.$ Le nombre de SMS étant un entier, la facture dépasse $30$ € à partir de $37$ SMS hors forfait.

Vérification : $f (36) = 18 + 12 = 30$ € (exactement $30$ €, donc pas encore dépassé) et $f (37) = 18, 5 + 12 = 30, 5$ € $> 30$ €.

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