Un forfait de téléphone lu comme une fonction affine

1. Une fonction affine s'écrit $f(x)=mx+p$. Ici $m=0,5$ est le taux d'accroissement (ou coefficient directeur) et $p=12$ l'ordonnée à l'origine.

Concrètement : $12$ € est le montant payé lorsque aucun SMS hors forfait n'est envoyé, c'est-à-dire l'abonnement de base ; $0,5$ € est le supplément payé pour chaque SMS hors forfait, c'est-à-dire l'augmentation de la facture quand $x$ augmente de $1$.

2. On applique la formule : $$f(0)=0,5\times 0+12=12,f(20)=0,5\times 20+12=10+12=22,$$ $$f(60)=0,5\times 60+12=30+12=42.$$ La facture vaut donc $12$ €, $22$ € et $42$ €.

3. Le taux d'accroissement $m=0,5$ est strictement positif, donc $f$ est strictement croissante.

Justification par le calcul : pour deux nombres $u<v$, $$f(v)-f(u)=(0,5v+12)-(0,5u+12)=0,5(v-u).$$ Comme $u<v$, on a $v-u>0$, donc $f(v)-f(u)>0$, c'est-à-dire $f(u)<f(v)$ : l'ordre est conservé. C'est bien cohérent avec la situation — envoyer plus de SMS ne peut pas faire baisser la facture.

4. On résout l'inéquation $$0,5x+12>30⟺0,5x>18⟺x>\frac{18}{0,5}=36.$$ Le nombre de SMS étant un entier, la facture dépasse $30$ € à partir de $37$ SMS hors forfait.

Vérification : $f(36)=18+12=30$ € (exactement $30$ €, donc pas encore dépassé) et $f(37)=18,5+12=30,5$ € $>30$ €.