Un minimum démontré par une forme canonique

1. La vérification. On développe l'identité remarquable $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ : $$(x-3{)}^2+2=x^2-6x+9+2=x^2-6x+11=f(x).$$ L'égalité est vraie pour tout réel $x$.

2. Le minimum. Pour tout réel $x$, un carré est positif ou nul : $$(x-3{)}^2\ge 0,\text{donc}f(x)=(x-3{)}^2+2\ge 2.$$ Ainsi $2$ minore toutes les valeurs de $f$. De plus cette valeur est atteinte : pour $x=3$, $$f(3)=0+2=2.$$ Une valeur qui minore la fonction et qui est atteinte est bien le minimum : $$\underset{\mathbb{R}}{\min }f=2,\text{ atteint en }x=3,\text{ et en ce point seulement,}$$ puisque $(x-3{)}^2=0$ n'a que la solution $x=3$.

3. L'équation. On utilise la forme obtenue : $$f(x)=6⟺(x-3{)}^2+2=6⟺(x-3{)}^2=4.$$ Un nombre dont le carré vaut $4$ est $2$ ou $-2$ : $$x-3=2\text{ou}x-3=-2,\text{soit}x=5\text{ou}x=1.$$

Contrôle. $f(5)=25-30+11=6$ ✔ et $f(1)=1-6+11=6$ ✔. Les deux solutions sont symétriques par rapport à $3$, l'abscisse du minimum.