Un nombre positif et son inverse

1. La mise au même dénominateur. Pour $x>0$ : $$\frac{1}{x}-x=\frac{1}{x}-\frac{x\times x}{x}=\frac{1-x^2}{x}.$$ Or $1-x^2$ est une différence de deux carrés : $$1-x^2=1^2-x^2=(1-x)(1+x).$$ D'où $$\frac{1}{x}-x=\frac{(1-x)(1+x)}{x}.$$

2. Le tableau de signes sur $\left]0;+\infty \right[$. On travaille uniquement pour $x>0$, donc le dénominateur $x$ est strictement positif, et le facteur $1+x$ aussi (il vaut au moins $1$). Seul $1-x$ change de signe : positif avant $1$, négatif après.

$$\begin{array}{ccc}x& \left]0;1\right[& \left]1;+\infty \right[\\ 1-x& +& -\\ 1+x& +& +\\ x& +& +\\ \frac{1}{x}-x& +& -\end{array}$$

L'expression s'annule pour $x=1$.

3. La conclusion.

• Pour $0<x<1$, on a $\frac{1}{x}-x>0$, donc $\frac{1}{x}>x$.
• Pour $x=1$, on a $\frac{1}{x}=x=1$.
• Pour $x>1$, on a $\frac{1}{x}-x<0$, donc $\frac{1}{x}<x$.

Contrôles. Pour $x=0,25$ : $\frac{1}{0,25}=4>0,25$ ✔. Pour $x=4$ : $\frac{1}{4}=0,25<4$ ✔.

Lecture graphique. Autrement dit, sur $\left]0;+\infty \right[$, la courbe de la fonction inverse est au-dessus de la droite d'équation $y=x$ avant le point $(1;1)$, et en dessous après.