mathématiques (seconde) · Chapitre 9 · Exercice d'entraînement

Un nombre positif et son inverse

Variations et extremums · Variations des fonctions de référence · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $x$ un réel strictement positif.

Montrer que $\frac{1}{x} - x = \frac{( 1 - x ) ( 1 + x )}{x}$ .
Dresser le tableau de signes de cette expression sur $] 0; + \infty [$ .
En déduire pour quelles valeurs de $x$ on a $\frac{1}{x} > x$ , et pour lesquelles on a $\frac{1}{x} < x$ .

Pour démarrer : comment l'IA t'aide

Montrer que $\frac{1}{x} - x = \frac{( 1 - x ) ( 1 + x )}{x}$ .

Élève

Je ne vois pas comment partir : il y a une fraction d'un côté et un produit de l'autre, je ne sais pas quoi transformer en premier.

Tu as raison de te poser la question. Regarde le membre de gauche : c'est une différence entre $\frac{1}{x}$ et $x$ . Quel est le dénominateur commun que tu pourrais leur donner ?

Élève

Je pourrais tout mettre sur $x$ ? Donc $x$ devient $\frac{x \times x}{x}$ ?

Oui, c'est la bonne piste : mets les deux termes sur le même dénominateur $x$ . Une fois que tu as une seule fraction, regarde bien son numérateur : quelle identité remarquable reconnais-tu ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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Reprends la question 1 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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