Un tableau à dresser, des images à ranger

1. Le tableau. $$\begin{array}{cccccc}x& 0& & 4& & 10\\ f(x)& 12& \searrow & 1& \nearrow & 9\end{array}$$

2. Les extremums. La fonction descend jusqu'à $1$ puis remonte : la plus petite valeur est $$\min f=1,\text{ atteint en }x=4.$$ La plus grande valeur est atteinte à l'une des deux bornes ; on compare $f(0)=12$ et $f(10)=9$ : $$\max f=12,\text{ atteint en }x=0.$$

3. Les comparaisons.

• $4$ et $7$ sont tous deux dans $[4;10]$, où $f$ est croissante, donc $4<7$ entraîne $f(4)<f(7)$, c'est-à-dire $f(7)>1$.
• $7$ et $10$ sont aussi dans $[4;10]$ : $7<10$ entraîne $f(7)<f(10)=9$.

Ainsi $1<f(7)<9$.

Le cas de $f(2)$ et $f(7)$. Cette fois $2$ appartient à $[0;4]$ et $7$ à $[4;10]$ : les deux nombres sont sur des branches différentes du tableau. Le sens de variation ne dit rien de la comparaison entre une image de la branche descendante et une image de la branche montante. On sait seulement que $f(2)>1$ (car $f$ décroît de $12$ à $1$, donc $1<f(2)<12$) et $1<f(7)<9$ : les deux encadrements se chevauchent.

Conclusion. On ne peut pas comparer $f(2)$ et $f(7)$ à partir du seul tableau.