Une fonction affine reconstituée à partir de deux images

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (seconde), chapitre 9 — Variations et extremums · Fonctions affines et problèmes d'optimisation

Énoncé

Une fonction affine $f$ vérifie $f (2) = 5$ et $f (6) = - 3$ .

Calculer le taux d'accroissement de $f$ entre $2$ et $6$ , et en déduire son coefficient directeur.
Déterminer l'expression de $f (x)$ .
Donner le sens de variation de $f$ , puis résoudre $f (x) \geq 0$ .

Corrigé

1. Le taux d'accroissement. Pour une fonction affine $f (x) = m x + p$ , le taux d'accroissement entre deux réels distincts vaut toujours $m$ : $m = \frac{f ( 6 ) - f ( 2 )}{6 - 2} = \frac{- 3 - 5}{4} = \frac{- 8}{4} = - 2.$

2. L'expression. On sait donc que $f (x) = - 2 x + p$ . On utilise $f (2) = 5$ pour trouver $p$ : $- 2 \times 2 + p = 5 ⟺ - 4 + p = 5 ⟺ p = 9.$ D'où $f (x) = - 2 x + 9.$

Contrôle. $f (6) = - 12 + 9 = - 3$ ✔.

3. Le sens de variation. Le coefficient directeur vaut $m = - 2 < 0$ : la fonction affine est strictement décroissante sur $R$ .

L'inéquation. $- 2 x + 9 \geq 0 ⟺ - 2 x \geq - 9.$ On divise par $- 2$ , qui est négatif : le sens de l'inégalité change. $x \leq \frac{- 9}{- 2} = \frac{9}{2} = 4, 5.$ Donc $S =] - \infty; 4, 5] .$

Contrôle. $f (4) = - 8 + 9 = 1 \geq 0$ ✔ et $f (5) = - 10 + 9 = - 1 < 0$ ✔. La droite coupe l'axe des abscisses en $4, 5$ , puis passe en dessous.

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