Une fonction affine, son taux et son signe

Le sens de variation. La fonction est affine, de coefficient directeur $m=-3$. Comme $m<0$, elle est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

Le taux d'accroissement entre $1$ et $5$. On calcule d'abord les deux images : $$f(1)=-3+12=9,f(5)=-15+12=-3.$$ Puis $$\frac{f(5)-f(1)}{5-1}=\frac{-3-9}{4}=\frac{-12}{4}=-3.$$ On retrouve exactement le coefficient directeur $m=-3$ : c'est une propriété générale des fonctions affines, dont le taux d'accroissement ne dépend pas des deux points choisis.

L'inéquation. $$-3x+12>0⟺-3x>-12.$$ On divise par $-3$, qui est négatif : le sens de l'inégalité change. $$x<\frac{-12}{-3}=4.$$ Donc $$S=\left]-\infty ;4\right[.$$

Contrôle. $f(3)=3>0$ ✔ et $f(5)=-3<0$ ✔ ; la fonction s'annule bien en $4$, car $f(4)=-12+12=0$.