Croissante et non majorée

Raisonnement par Récurrence et Suites · Suites monotones et convergence · niveau 2

Énoncé

Croissante et non majorée. Soit la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ et pour tout $n \in N$ :

$u_{n + 1} = u_{n} + \frac{1}{u _{n}}$

Démontrer par récurrence que pour tout $n \in N$ , $u_{n}$ existe et $u_{n} \geq 1$ .
Montrer que la suite $(u_{n})$ est croissante.
On suppose que $(u_{n})$ converge vers un réel $ℓ$ . Justifier que $ℓ \geq 1$ , puis obtenir une contradiction en considérant $u_{n + 1} - u_{n}$ .
En déduire la limite de $(u_{n})$ .
Autre méthode. Montrer que pour tout $n \in N$ , $u_{n + 1}^{2} \geq u_{n}^{2} + 2$ , puis que $u_{n}^{2} \geq 2 n + 1$ . Retrouver la limite de $(u_{n})$ .

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.