Divisibilité et récurrence — exercice corrigé de maths terminale (chapitre 1)

Divisibilité et récurrence

Raisonnement par Récurrence et Suites · niveau 2

Énoncé

Divisibilité et récurrence. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geq 0$ , l'entier $4^{n} + 2$ est un multiple de 3.

Soit $P (n)$ la propriété : « $4^{n} + 2$ est un multiple de 3 », c'est-à-dire qu'il existe un entier $a_{n} \in Z$ tel que $4^{n} + 2 = 3 a_{n}$ .

Initialisation : Pour $n = 0$ , $4^{0} + 2 = 1 + 2 = 3 = 3 \times 1$ . $P (0)$ est vraie.
Hérédité : Supposons que pour un certain entier $k \geq 0$ , $4^{k} + 2 = 3 a_{k}$ avec $a_{k} \in Z$ , ce qui donne $4^{k} = 3 a_{k} - 2$ . Montrons que $4^{k + 1} + 2$ est un multiple de 3 :

$4^{k + 1} + 2 = 4 \times 4^{k} + 2 = 4 (3 a_{k} - 2) + 2 = 12 a_{k} - 8 + 2 = 12 a_{k} - 6 = 3 (4 a_{k} - 2)$

Comme $a_{k}$ est un entier, $4 a_{k} - 2$ est également un entier. Donc $4^{k + 1} + 2$ est bien un multiple de 3. L'hérédité est prouvée.

Conclusion : Pour tout entier naturel $n \geq 0$ , $4^{n} + 2$ est un multiple de 3.