Limite avec expressions conjuguées

C'est une forme indéterminée de la forme « $\infty -\infty$ ». Utilisons l'expression conjuguée :

$$u_n=\frac{\left(\sqrt{n^2+2n}-n\right)\left(\sqrt{n^2+2n}+n\right)}{\sqrt{n^2+2n}+n}=\frac{(n^2+2n)-n^2}{\sqrt{n^2+2n}+n}=\frac{2n}{\sqrt{n^2\left(1+\frac{2}{n}\right)}+n}$$

Comme $n>0$, $\sqrt{n^2}=n$, donc :

$$u_n=\frac{2n}{n\sqrt{1+\frac{2}{n}}+n}=\frac{2n}{n\left(\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1\right)}=\frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1}$$

Puisque ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{2}{n}=0$, on a par limite de somme et de quotient :

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\frac{2}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{2}{2}=1$$