Limite de somme par encadrement — exercice corrigé de maths terminale (chapitre 1)

Limite de somme par encadrement

Raisonnement par Récurrence et Suites · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Limite de somme par encadrement. Soit la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier $n \geq 1$ par :

$u_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{n ^{2} + k} = \frac{1}{n ^{2} + 1} + \frac{1}{n ^{2} + 2} + \dots + \frac{1}{n ^{2} + n}$

Calculer la limite de $(u_{n})$ .

Corrigé

La somme comporte $n$ termes. Encadrons chaque terme de la somme : Pour tout $k \in [[1, n]]$ , on a :

$n^{2} + 1 \leq n^{2} + k \leq n^{2} + n ⟹ \frac{1}{n ^{2} + n} \leq \frac{1}{n ^{2} + k} \leq \frac{1}{n ^{2} + 1}$

En sommant ces inégalités pour $k$ allant de $1$ à $n$ , on obtient :

$n \times \frac{1}{n ^{2} + n} \leq u_{n} \leq n \times \frac{1}{n ^{2} + 1} ⟹ \frac{n}{n ^{2} + n} \leq u_{n} \leq \frac{n}{n ^{2} + 1}$

Or :

$n \to + \infty lim \frac{n}{n ^{2} + n} = n \to + \infty lim \frac{n}{n ( n + 1 )} = n \to + \infty lim \frac{1}{n + 1} = 0$

et $lim_{n \to + \infty} \frac{n}{n ^{2} + 1} = lim_{n \to + \infty} \frac{n}{n ^{2} ( 1 + 1/ n ^{2} )} = 0$ . Par le théorème des Gendarmes, on conclut que :

$n \to + \infty lim u_{n} = 0$