Limite de somme par encadrement

La somme comporte $n$ termes. Encadrons chaque terme de la somme : Pour tout $k\in [[1,n]]$, on a :

$$n^2+1\le n^2+k\le n^2+n⟹\frac{1}{n^2+n}\le \frac{1}{n^2+k}\le \frac{1}{n^2+1}$$

En sommant ces inégalités pour $k$ allant de $1$ à $n$, on obtient :

$$n\times \frac{1}{n^2+n}\le u_n\le n\times \frac{1}{n^2+1}⟹\frac{n}{n^2+n}\le u_n\le \frac{n}{n^2+1}$$

Or :

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n}{n^2+n}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n}{n(n+1)}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n+1}=0$$

et ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{n}{n^2+1}={\lim }_{n\to +\infty }\frac{n}{n^2(1+1/n^2)}=0$. Par le théorème des Gendarmes, on conclut que :

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$$