Méthode de Héron pour approcher √2 — exercice de maths terminale (chapitre 1)

Méthode de Héron pour approcher

2

Raisonnement par Récurrence et Suites · Suites définies par récurrence : problèmes · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Méthode de Héron pour approcher $2$ . Soit la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 2$ et pour tout $n \in N$ :

$u_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + \frac{2}{u _{n}})$

Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ sous forme de fractions irréductibles.
Vérifier que pour tout réel $x > 0$ : $\frac{1}{2} (x + \frac{2}{x}) - 2 = \frac{( x - 2 ) ^{2}}{2 x}$ .
Démontrer par récurrence que pour tout $n \in N$ , $u_{n}$ existe et $u_{n} \geq 2$ .
Montrer que pour tout $n \in N$ , $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2 - u _{n}^{2}}{2 u _{n}}$ . En déduire que $(u_{n})$ est décroissante.
En déduire que $(u_{n})$ converge, puis que sa limite est $2$ .
Montrer que pour tout $n \in N$ , $0 \leq u_{n + 1} - 2 \leq \frac{( u _{n} - 2 ) ^{2}}{2 2}$ . Sachant que $0 \leq u_{2} - 2 \leq 0, 0025$ , donner un majorant de l'erreur commise en approchant $2$ par $u_{3}$ .

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.