Recherche analytique de seuil — exercice corrigé de maths terminale (chapitre 1)

Recherche analytique de seuil

Raisonnement par Récurrence et Suites · niveau 2

Énoncé

Recherche analytique de seuil. Soit la suite $(u_{n})$ définie pour tout $n \in N$ par $u_{n} = n^{2} - 100 n$ . Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} > 10000$ .

Corrigé

On cherche à résoudre l'inéquation $n^{2} - 100 n > 10000 ⟺ n^{2} - 100 n - 10000 > 0$ . C'est un trinôme du second degré de variable $n$ . Calculons le discriminant :

$Δ = (- 100)^{2} - 4 (1) (- 10000) = 10000 + 40000 = 50000$

Les racines réelles sont :

$n_{1} = \frac{100 - 50 000}{2} \approx - 61, 8 et n_{2} = \frac{100 + 50 000}{2} = \frac{100 + 100 5}{2} = 50 + 505 \approx 161, 8$

Comme $n$ est positif et le trinôme est strictement positif à l'extérieur des racines (car $a = 1 > 0$ ), on doit avoir :

$n > 50 + 505 \approx 161, 8$

Comme $n$ doit être un entier naturel, le plus petit entier satisfaisant cette condition est :

$n = 162$