Théorème des Gendarmes

Pour tout entier naturel $n$, on a $|(-1{)}^n|=1$ et $|\sin (n)|\le 1$, donc :

$$\left|(-1{)}^n\sin (n)\right|=|(-1{)}^n|\times |\sin (n)|=|\sin (n)|\le 1\text{c’est-aˋ-dire}-1\le (-1{)}^n\sin (n)\le 1$$

Puisque $n^2+1>0$, en divisant chaque membre par $n^2+1$, on obtient :

$$-\frac{1}{n^2+1}\le u_n\le \frac{1}{n^2+1}$$

Or, ${\lim }_{n\to +\infty }-\frac{1}{n^2+1}=0$ et ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{1}{n^2+1}=0$. D'après le théorème des Gendarmes, la suite $(u_n)$ converge et :

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$$