Théorème des Gendarmes

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (terminale), chapitre 1 — Raisonnement par Récurrence et Suites

Énoncé

Théorème des Gendarmes. Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ définie pour $n \geq 1$ par :

$u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n} sin ( n )}{n ^{2} + 1}$

Corrigé

Pour tout entier naturel $n$ , on a $∣ (- 1)^{n} ∣ = 1$ et $∣ sin (n) ∣ \leq 1$ , donc :

$∣ (- 1)^{n} sin (n) ∣ = ∣ (- 1)^{n} ∣ \times ∣ sin (n) ∣ = ∣ sin (n) ∣ \leq 1 c’est- a ˋ -dire - 1 \leq (- 1)^{n} sin (n) \leq 1$

Puisque $n^{2} + 1 > 0$ , en divisant chaque membre par $n^{2} + 1$ , on obtient :

$- \frac{1}{n ^{2} + 1} \leq u_{n} \leq \frac{1}{n ^{2} + 1}$

Or, $lim_{n \to + \infty} - \frac{1}{n ^{2} + 1} = 0$ et $lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n ^{2} + 1} = 0$ . D'après le théorème des Gendarmes, la suite $(u_{n})$ converge et :

$n \to + \infty lim u_{n} = 0$

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.