Une somme majorée par récurrence

Une somme majorée par récurrence. Pour tout entier $n\ge 1$, on pose :

$$S_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots +\frac{1}{n^2}$$

• Montrer que la suite $(S_n)$ est croissante.
• Vérifier que pour tout entier $k\ge 1$, $\frac{1}{(k+1{)}^2}+\frac{1}{k+1}\le \frac{1}{k}$.
• Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\ge 1$, $S_n\le 2-\frac{1}{n}$.
• En déduire que la suite $(S_n)$ converge vers une limite $L$ telle que $L\le 2$.