Une suite qui tend vers $0$, et à quelle vitesse

Une suite qui tend vers $0$, et à quelle vitesse. Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=\frac{1}{2}$ et pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=u_n(1-u_n)$.

• Démontrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $0<u_n<1$.
• Étudier le sens de variation de $(u_n)$. En déduire que $(u_n)$ converge.
• On note $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x(1-x)$. Étudier les variations de $g$ sur $\left[0,\frac{1}{2}\right]$.
• Démontrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n\le \frac{1}{n+2}$.
  On pourra utiliser l'inégalité $(n+1)(n+3)\le (n+2{)}^2$, à justifier.
• En déduire la limite de $(u_n)$.