Deux fonctions qui ont la même dérivée

Deux fonctions qui ont la même dérivée. Soit les fonctions $f(x)={\cos }^2(x)$ et $g(x)=\frac{1+\cos (2x)}{2}$ définies sur $\mathbb{R}$.

• Montrer que $f$ est paire et périodique de période $\pi$.
• Calculer $f^{\prime }(x)$ et $g^{\prime }(x)$, et vérifier que $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)=-\sin (2x)$. On rappelle que $\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$.
• En déduire que $f=g$ sur $\mathbb{R}$.
• Étudier les variations de $f$ sur $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$.