Encadrer le cosinus près de $0$

Encadrer le cosinus près de $0$.

• En étudiant $g(x)=x-\sin (x)$ sur $[0,+\infty [$, montrer que pour tout $x\ge 0$, $\sin (x)\le x$.
• En étudiant $h(x)=\cos (x)-1+\frac{x^2}{2}$ sur $[0,+\infty [$, montrer que pour tout $x\ge 0$ : $1-\frac{x^2}{2}\le \cos (x)$. Justifier que cette inégalité reste vraie pour $x<0$.
• En déduire que pour tout réel $x\ne 0$, $0\le \frac{1-\cos (x)}{x^2}\le \frac{1}{2}$, puis déterminer $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos (x)}{x}$.