mathématiques (terminale) · Chapitre 10 · Exercice de TD

Équation se ramenant au second degré

Fonctions Trigonométriques · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Équation se ramenant au second degré. Résoudre dans $[- π, π]$ l'équation :

$2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) + 1 = 0$

Corrigé

Posons $X = cos (x)$ , avec $X \in [- 1, 1]$ . L'équation devient $2 X^{2} - 3 X + 1 = 0$ , de discriminant $Δ = 9 - 8 = 1$ :

$X_{1} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2} et X_{2} = \frac{3 + 1}{4} = 1$

Revenons à $x$ sur $[- π, π]$ :

$cos (x) = \frac{1}{2} ⟺ x = \pm \frac{π}{3}$ ;
$cos (x) = 1 ⟺ x = 0$ .

L'ensemble des solutions est :

$S = {- \frac{π}{3}, 0, \frac{π}{3}}$

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