Étude de $x\mapsto \frac{\sin (x)}{2+\cos (x)}$

Étude de $x\mapsto \frac{\sin (x)}{2+\cos (x)}$. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{\sin (x)}{2+\cos (x)}$.

• Justifier que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$, impaire et $2\pi$-périodique. Sur quel intervalle suffit-il de l'étudier ?
• Montrer que $f^{\prime }(x)=\frac{2\cos (x)+1}{(2+\cos (x){)}^2}$.
• Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0,\pi ]$.
• En déduire le maximum et le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$.