Étude des variations

La fonction $f$ est dérivable sur $[0,\pi ]$ et :

$$f^{\prime }(x)=-2\sin (2x)$$

Quand $x$ parcourt $[0,\pi ]$, $2x$ parcourt $[0,2\pi ]$ : $\sin (2x)\ge 0$ pour $2x\in [0,\pi ]$ (soit $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$) et $\sin (2x)\le 0$ pour $x\in \left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$. Donc $f^{\prime }(x)\le 0$ sur $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ et $f^{\prime }(x)\ge 0$ sur $\left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$ : la fonction $f$ est décroissante de $f(0)=1$ à $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\cos (\pi )=-1$, puis croissante jusqu'à $f(\pi )=\cos (2\pi )=1$.