mathématiques (terminale) · Chapitre 10 · Exercice de TD

Fonction trigonométrique et exponentielle

Fonctions Trigonométriques · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Fonction trigonométrique et exponentielle. Soit $f (x) = e^{- x} cos (x)$ sur $[0, + \infty [$ (oscillation amortie).

Montrer que pour tout $x \geq 0$ : $- e^{- x} \leq f (x) \leq e^{- x}$ .
En déduire $x \to + \infty lim f (x)$ .

Corrigé

Pour tout $x$ , $- 1 \leq cos (x) \leq 1$ . En multipliant par $e^{- x} > 0$ :

$- e^{- x} \leq e^{- x} cos (x) \leq e^{- x}$

Comme $lim_{x \to + \infty} e^{- x} = 0$ (et donc aussi $lim - e^{- x} = 0$ ), le théorème des gendarmes donne :

$x \to + \infty lim f (x) = 0$

La courbe oscille entre les deux « enveloppes » $y = \pm e^{- x}$ qui l'écrasent vers $0$ .

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