mathématiques (terminale) · Chapitre 10 · Exercice d'entraînement

L'inégalité de Jordan par la concavité

Fonctions Trigonométriques · Étude des fonctions sinus et cosinus · niveau 2

Énoncé

L'inégalité de Jordan par la concavité.

Montrer que la fonction $sin$ est concave sur $[0, \frac{π}{2}]$ .
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $sin$ en $0$ , et celle de la sécante passant par les points d'abscisses $0$ et $\frac{π}{2}$ .
En déduire que pour tout $x \in [0, \frac{π}{2}]$ :

$\frac{2}{π} x \leq sin (x) \leq x$

Application : encadrer $sin (\frac{π}{6})$ à l'aide de cette inégalité, et vérifier le résultat.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.