Parité et périodicité

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (terminale), chapitre 10 — Fonctions Trigonométriques

Énoncé

Parité et périodicité. Soit $f (x) = sin (x) cos (x)$ .

Pour tout réel $x$ : $f (- x) = sin (- x) cos (- x) = - sin (x) cos (x) = - f (x)$ . La fonction est impaire.
Avec la formule de duplication, $f (x) = \frac{1}{2} sin (2 x)$ , donc :

$f (x + π) = \frac{1}{2} sin (2 x + 2 π) = \frac{1}{2} sin (2 x) = f (x)$

Par périodicité, on peut se restreindre à $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ; par imparité, à $[0, \frac{π}{2}]$ (la courbe complète s'en déduit par symétrie puis translations).

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.