Parité et périodicité

• Pour tout réel $x$ : $f(-x)=\sin (-x)\cos (-x)=-\sin (x)\cos (x)=-f(x)$. La fonction est impaire.
• Avec la formule de duplication, $f(x)=\frac{1}{2}\sin (2x)$, donc :

$$f(x+\pi )=\frac{1}{2}\sin (2x+2\pi )=\frac{1}{2}\sin (2x)=f(x)$$

• Par périodicité, on peut se restreindre à $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ ; par imparité, à $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ (la courbe complète s'en déduit par symétrie puis translations).