Rectangles inscrits dans un demi-disque

Rectangles inscrits dans un demi-disque. Dans un repère orthonormé, on considère le demi-cercle de centre $O$ et de rayon $1$ situé au-dessus de l'axe des abscisses. Pour $\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, on construit le rectangle dont deux sommets sont les points du demi-cercle $M(\cos (\theta ),\sin (\theta ))$ et $M^{\prime }(-\cos (\theta ),\sin (\theta ))$, les deux autres étant leurs projetés sur l'axe des abscisses.

• Exprimer l'aire $\mathcal{A}(\theta )$ du rectangle. Déterminer la valeur de $\theta$ qui la rend maximale et l'aire maximale.
• Exprimer le périmètre $P(\theta )$ du rectangle, puis calculer $P^{\prime }(\theta )$.
• Montrer que $P^{\prime }$ est strictement décroissante sur $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, puis que $P^{\prime }$ s'annule en un unique réel ${\theta }_0$, caractérisé par $\cos ({\theta }_0)=2\sin ({\theta }_0)$.
• En déduire $\sin ({\theta }_0)$ et $\cos ({\theta }_0)$, puis le périmètre maximal.