Ensembles de définition et intervalles

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (terminale), chapitre 11 — Vocabulaire ensembliste et logique

Énoncé

Ensembles de définition et intervalles. Déterminer, et écrire à l'aide d'intervalles, l'ensemble de définition des fonctions suivantes :

$f (x) = ln (3 - x), g (x) = ln (x^{2} - 4), h (x) = \frac{1}{x - 1} .$

Le logarithme n'est défini que sur $] 0; + \infty [$ (chapitre 4). Il faut donc $3 - x > 0$ , c'est-à-dire $x < 3$ :

$D_{f} =] - \infty; 3 [.$

Il faut $x^{2} - 4 > 0$ , c'est-à-dire $x^{2} > 4$ , soit $x < - 2$ ou $x > 2$ . Ce « ou » se traduit par une réunion :

$D_{g} =] - \infty; - 2 [\cup] 2; + \infty [.$

Noter que $D_{g}$ n'est pas un intervalle : c'est une réunion de deux intervalles.

Il faut à la fois $x \geq 0$ (pour la racine) et $x - 1 \neq = 0$ , c'est-à-dire $x \neq = 1$ . Ce « et » se traduit par une intersection :

$D_{h} = [0; + \infty [\cap (R ∖ {1}) = [0; 1 [\cup] 1; + \infty [.$

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.