Les lois de De Morgan

Les lois de De Morgan.

• Dans $E=\{1,2,\dots ,10\}$, on note $A$ l'ensemble des multiples de $2$ et $B$ celui des multiples de $3$. Décrire en extension $\overline{A\cup B}$ et $\overline{A}\cap \overline{B}$ (complémentaires dans $E$). Que constate-t-on ?
• Vérifier sur cet exemple que $\text{Card}(A\cup B)=\text{Card}(A)+\text{Card}(B)-\text{Card}(A\cap B)$.
• Démontrer, pour deux parties quelconques $A$ et $B$ d'un ensemble $E$, que $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$, en raisonnant sur un élément $x$ de $E$.
• Traduire ce résultat en termes de négation des connecteurs « et » et « ou ».