Produit cartésien et dénombrement

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques (terminale), chapitre 11 — Vocabulaire ensembliste et logique

Énoncé

Produit cartésien et dénombrement. Un code d'accès est formé d'une lettre choisie parmi ${A, B, C, D}$ , suivie de deux chiffres choisis parmi ${0, 1, \dots, 9}$ (répétitions autorisées).

Écrire l'ensemble des codes comme un produit cartésien, puis donner son nombre d'éléments.
Combien de codes se terminent par un chiffre pair ?

Corrigé

Notons $L = {A, B, C, D}$ et $C = {0, 1, \dots, 9}$ . Un code est un triplet formé d'une lettre puis de deux chiffres : l'ensemble des codes est

$L \times C \times C = L \times C^{2} .$

D'après le principe multiplicatif du chapitre 7 :

$Card (L \times C^{2}) = Card (L) \times Card (C)^{2} = 4 \times 1 0^{2} = 400.$

Il s'agit maintenant des triplets de $L \times C \times C^{'}$ où $C^{'} = {0, 2, 4, 6, 8}$ , de cardinal $5$ . Le nombre cherché est donc

$4 \times 10 \times 5 = 200,$

soit exactement la moitié, ce qui était prévisible : la contrainte ne porte que sur la dernière coordonnée, et elle en retient une sur deux.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.