Un quotient de logarithmes irrationnel

Un quotient de logarithmes irrationnel. On veut démontrer par l'absurde que le réel $\frac{\ln (2)}{\ln (3)}$ n'est pas rationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire $\frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ entiers naturels non nuls.

• Justifier que $\frac{\ln (2)}{\ln (3)}$ est un réel strictement positif.
• On suppose qu'il existe deux entiers naturels non nuls $p$ et $q$ tels que $\frac{\ln (2)}{\ln (3)}=\frac{p}{q}$. Montrer qu'alors $2^q=3^p$.
• En considérant la parité des deux membres, aboutir à une contradiction et conclure.
• Pourquoi ce raisonnement ne permettrait-il pas de démontrer que $\frac{\ln (4)}{\ln (2)}$ est irrationnel ?