Continuité globale et paramètre

Les fonctions $x\mapsto 3x+a$ et $x\mapsto x^2-1$ sont des polynômes, donc continues sur $]-\infty ,2[$ et $]2,+\infty [$ respectivement, quelle que soit la valeur de $a$. La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ si et seulement si elle est continue en 2, soit ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=f(2)$.

• $f(2)=2^2-1=3$.
• ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{+}}(x^2-1)=3$.
• ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{-}}(3x+a)=3(2)+a=6+a$.

Pour assurer la continuité, on doit avoir :

$$6+a=3⟺a=-3$$