Continuité globale et paramètre

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (terminale), chapitre 2 — Limites et Continuité des fonctions

Énoncé

Continuité globale et paramètre. Déterminer la valeur du réel $a$ pour laquelle la fonction $f$ définie sur $R$ par :

$f (x) = {3 x + a x^{2} - 1 si x < 2 si x \geq 2$

est continue sur $R$ .

Corrigé

Les fonctions $x \mapsto 3 x + a$ et $x \mapsto x^{2} - 1$ sont des polynômes, donc continues sur $] - \infty, 2 [$ et $] 2, + \infty [$ respectivement, quelle que soit la valeur de $a$ . La fonction $f$ est continue sur $R$ si et seulement si elle est continue en 2, soit $lim_{x \to 2^{-}} f (x) = f (2)$ .

$f (2) = 2^{2} - 1 = 3$ .
$lim_{x \to 2^{+}} f (x) = lim_{x \to 2^{+}} (x^{2} - 1) = 3$ .
$lim_{x \to 2^{-}} f (x) = lim_{x \to 2^{-}} (3 x + a) = 3 (2) + a = 6 + a$ .

Pour assurer la continuité, on doit avoir :

$6 + a = 3 ⟺ a = - 3$

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